Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+k（cosx-1）．
（1）當(dāng)x∈[-

π

3

，

2π

3

]時，求函數(shù)f（x）的最小值，及f（x）取最小值時x的值；
（2）當(dāng)k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化正弦為余弦，換元后分類討論求函數(shù)的最小值；
（2）借助于三角函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)期間．

解答： 解：f（x）=sin²x+k（cosx-1）
=-cos²x+kcosx-k+1．
（1）∵x∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴cosx∈[-

1

2

，1]，
令t=cosx，t∈[-

1

2

，1]．
函數(shù)f（x）=-cos²x+kcosx-k+1化為y=-t²+kt-k+1．
對稱軸方程為t=

k

2

，
當(dāng)

k

2

＜-

1

2

，即k＜-1時，函數(shù)的最小值為-(-

1

2

)2-

k

2

-k+1=

3

4

-

3

2

k，
對應(yīng)的x值為-

π

3

．
當(dāng)-

1

2

≤

k

2

≤1，即-1≤k≤2時，函數(shù)的最小值為-(

k

2

)2+

k2

2

-k+1=

k2

4

-k+1，
對應(yīng)的x值為arccos

k

2

．
當(dāng)

k

2

＞1，即k＞2時，函數(shù)的最小值為-1+k-k+1=0
對應(yīng)的x的值為0．
（2）當(dāng)k=1時，f（x）=-cos²x+cosx，
令m=cosx，
函數(shù)化為y=-m²+m，
該函數(shù)的增區(qū)間為[-1，

1

2

]，減區(qū)間為[

1

2

，1]．
∴函數(shù)f（x）=-cos²x+cosx的增區(qū)間為[2kπ-π，2kπ-

π

3

]，[2kπ，2kπ+

π

3

]；
減區(qū)間為[2kπ+

π

3

，2kπ+π]，[2kπ-

π

3

，2kπ]．

點評：本題考查了三角函數(shù)值域的求法，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是中高檔題．