已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過（1，
3
2
），e=
3
2
，直線l1：y=kx+m（m≠0）與橢圓交于AB兩點，直線l2：y=kx-m與橢圓交于C、D兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當k=1時，求四邊形ABCD面積的最大值．
考點：橢圓的標準方程
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用待定系數(shù)法，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）當k=1時，四邊形ABCD是平行四邊形，表示出兩平行線AB，CD間的距離，|AB|，可得面積，再利用配方法，求四邊形ABCD面積的最大值．
解答： 解：（1）由題意得
1
a2
+
3
4b2
=1
a2-b2
a2
=
3
4
，解得a=2，b=1，
所以橢圓方程為
x2
4
+y2=1；
（2）由題意知直線l1和直線l2關(guān)于原點對稱，則AB=CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形，
設(shè)兩平行線AB，CD間的距離為d，則d=
|m-(-m)|
1+1
=
2
|m|．
y=x+m代入
x2
4
+y2=1，整理可得5x2+8mx+4m2-4=0，
設(shè)A、B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），
則x1+x2=-
8m
5
，x1x2=
4m2-4
5
，
∴|AB|=
2
•
(
8m
5
)2-
4(4m2-4)
5

所以S=
2
•
(
8m
5
)2-
4(4m2-4)
5
•
2
|m|=
8
5
-(m2-
5
2
)2+
25
4
≤4
所以四邊形ABCD的面積S取得最大值為4．
點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，且對任意的實數(shù)a，b，當a+b≠0時，都有
f(a)+f(b)
a+b
＜0成立．
（1）判斷函數(shù)y=f（x）在R上的單調(diào)性并證明；
（2）若對任意t∈[-1，0]，不等式f（t2-2t-1）+f（2t2-k）≤0恒成立，求實數(shù)k的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在下列結(jié)論中：
①函數(shù)y=cos2（
π
4
-x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)y=4sin（2x-
π
3
）的一個對稱中心是（
π
6
，0）；
③函數(shù)y=cos（2x+
π
3
）的圖象的一條對稱軸為x=-
2
3
π；
④若tan（π-x）=2，則cos2x=
1
5
．
⑤函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移
π
4
個單位，得到y(tǒng)=sin（2x+
π
4
）的圖象
其中正確結(jié)論的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2+c2-b2=ac，則角B的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=xn-2（n∈N）的圖象如圖所示，則y=f（x）在x=1處的切線與兩坐標軸圍成的面積為（　　）
A、
4
3
B、
7
4
C、
9
4
D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

解關(guān)于x的不等式 （x+1）（mx-1）＞0，（m∈R）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)g（x）=2x5+10x2-2x-1在實數(shù)范圍內(nèi)的零點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2x+k（cosx-1）．
（1）當x∈[-
π
3
，
2π
3
]時，求函數(shù)f（x）的最小值，及f（x）取最小值時x的值；
（2）當k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

冪函數(shù)f（x）=x-3的遞減區(qū)間是
 
．

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