Question

1．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），焦距為2c，若l₁：y=$\sqrt{3}$（x-c）與C的左右兩支交于一點，l₂：y=2$\sqrt{2}$（x+c）與C的左支交于兩點，則雙曲線的離心率的范圍是（　�。�

• A． （1，3）
• B． （2，3）
• C． （1，2）
• D． （$\sqrt{5}$，3）

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結(jié)合直線和雙曲線的位置關(guān)系，得到直線斜率和漸近線斜率之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，焦點坐標(biāo)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則直線l₁：y=$\sqrt{3}$（x-c）過雙曲線的右焦點F₂（c，0），
l₂：y=2$\sqrt{2}$（x+c）過雙曲線的左焦點F₁（-c，0），
若l₁：y=$\sqrt{3}$（x-c）與C的左右兩支交于一點，
則直線的斜率$\sqrt{3}$滿足$\frac{a}$$＞\sqrt{3}$．
l₂：y=2$\sqrt{2}$（x+c）與C的左支交于兩點，
則直線的斜率2$\sqrt{2}$滿足$\frac{a}$＜2$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{3}$＜$\frac{a}$＜2$\sqrt{2}$，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，
∵$\sqrt{3}$＜$\frac{a}$＜2$\sqrt{2}$，
∴3＜（$\frac{a}$）²＜8，
4＜1+（$\frac{a}$）²＜9，
則2＜$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$＜3，
即2＜e＜3，
故離心率的取值范圍是（2，3），
故選：B

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和漸近線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．