Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
(1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式；
(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)

Answer 1

(1)由題意：當0≤x≤20時，v(x)＝60；
當20≤x≤200時，設v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函數v(x)的表達式為v(x)＝
(2)依題意并由(1)可得f(x)＝
當0≤x≤20時，f(x)為增函數，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1200；
當20≤x≤200時，f(x)＝x(200－x)=.
所以，當x＝100時，f(x)在間[20,200]上取得最大值.
綜上，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3333.
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．

解析