Question

已知橢圓C：3x²+y²=12，直線x-y-2=0交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)及長(zhǎng)軸長(zhǎng)；
（Ⅱ）求以線段AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）把橢圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，能求出橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)．
（Ⅱ）由

3x2+y2=12 x-y-2=0

，求出點(diǎn)A（2，0），B（-1，-3），由此推導(dǎo)出以線段AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，由此能求出以線段AB為直徑的圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：3x²+y²=12，
∴

x2

4

+

y2

12

=1，
由方程可知：a²=12，b²=4，c²=a²-b²=8，c=2

2

．…（3分）
∴橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2

2

)，(0，-2

2

)，
長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a為4

3

．…（5分）
（Ⅱ）由

3x2+y2=12 x-y-2=0

，
得：x²-x-2=0．
解得：x=2或x=-1．
∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，0），（-1，-3）．…（7分）
∴A，B中點(diǎn)坐標(biāo)為(

1

2

，-

3

2

)，
∴|AB|=

(2+1)2+(0+3)2

=3

2

．…（9分）
∴以線段AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(

1

2

，-

3

2

)，半徑為

3 2

2

．
∴以線段AB為直徑的圓的方程為(x-

1

2

)2+(y+

3

2

)2=

9

2

．…（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查圓的方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．