Question

1．在△ABC中，點D滿足$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$，當(dāng)點E在射線AD（不含點A）上移動時，若$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，則$λ+\frac{1}{μ}$的最小值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，利用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$，再利用$\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}$，求出λ與μ，利用基本不等式求出$λ+\frac{1}{μ}$的最小值．

解答 解：如圖所示，
△ABC中，$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
又點E在射線AD（不含點A）上移動，
設(shè)$\overrightarrow{AE}$=k$\overrightarrow{AD}$，k＞0，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{k}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3k}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
又$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{k}{4}}\\{μ=\frac{3k}{4}}\end{array}\right.$，
∴$λ+\frac{1}{μ}$=$\frac{k}{4}$+$\frac{4}{3k}$≥2$\sqrt{\frac{k}{4}•\frac{4}{3k}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{4}{\sqrt{3}}$時取“=”；
∴λ+$\frac{1}{μ}$的最小值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與基本不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．