Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=1，a₂=12，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-3a_n（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*）變形可知a_n+1-3a_n=3（a_n-3a_n-1），進(jìn)而可知數(shù)列{b_n}是以9為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知a_n+1-3a_n=3ⁿ⁺¹，兩邊同時(shí)除以3ⁿ⁺¹可知$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1-3a_n=3（a_n-3a_n-1），
又∵a₂-3a₁=12-3=9，
∴數(shù)列{b_n}是以9為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=9•3^n-1=3ⁿ⁺¹；
（2）解：由（1）可知a_n+1-3a_n=3ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{3{a}_{n}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{{3}^{n+1}}{{3}^{n+1}}$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}$+n-1=$\frac{3n-2}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=（3n-2）•3^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．