Question

14．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{（2n）^{2}}{（2n-1）×（2n+1）}$，那么數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n+$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 利用平方差公式、裂項(xiàng)可知a_n=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=$\frac{（2n）^{2}}{（2n-1）×（2n+1）}$
=$\frac{（2n-1）（2n+1）+1}{（2n-1）（2n+1）}$
=1+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=n+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=n+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=n+$\frac{n}{2n+1}$，
故答案為：n+$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，利用裂項(xiàng)相消法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．