Question

19．下列關(guān)于函數(shù)f（x）=（x²-2x）e^x的判斷正確的是（　�。�
①f（x）＜0的解集是{x|0＜x＜2} ②f（-$\sqrt{2}$）是極小值，f（$\sqrt{2}$）是極大值
③f（x）沒有最大值      ④f（x）有最大值．

• A． ②④
• B． ①③
• C． ①④
• D． ①②③

Answer 1

分析 令f（x）＜0可解x的范圍確定①正確；對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，然后令f'（x）=0求出x，根據(jù)f'（x）的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性進而可確定②不正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷③正確④不正確，從而得到答案．

解答 解：由f（x）＜0⇒（x²-2x）e^x＜0⇒x²-2x＜0⇒0＜x＜2，故①正確；
f′（x）=e^x（x²-2），由f′（x）=0得x=±$\sqrt{2}$，
由f′（x）＞0得x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
由f′（x）＜0得-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）．單調(diào)減區(qū)間為（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
∴f（x）的極小值為f（$\sqrt{2}$），極大值為f（-$\sqrt{2}$），故②不正確．
∵x＞2時，f（x）＞0恒成立．
∴f（x）沒有最大值，∴③正確，④不正確．
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)的極值與其導(dǎo)函數(shù)關(guān)系，即函數(shù)取到極值時導(dǎo)函數(shù)一定等于0，但導(dǎo)函數(shù)等于0時還要判斷原函數(shù)的單調(diào)性才能確定原函數(shù)的極值點．