袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球,從A中摸出一個(gè)紅球的概率是
1
3
,從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p.
(Ⅰ)從A中有放回地摸球,每次摸出一個(gè),有3次摸到紅球即停止.
(i)求恰好摸5次停止的概率;
(ii)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布率及數(shù)學(xué)期望Eξ.
(Ⅱ)若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為12,將A、B中的球裝在一起后,從中摸出一個(gè)紅球的概率是
2
5
,求p的值.
分析:(I)(i)由題意知本題是在相同的條件下進(jìn)行的試驗(yàn),且事件發(fā)生的概率相同,可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),恰好摸5次停止表示第次一定摸到紅球,前四次有兩次摸到紅球,根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到結(jié)果.
(ii)由題意知從A中有放回地摸球,每次摸出一個(gè),有3次摸到紅球即停止,隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2,3;由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式得到概率,寫出分布列和期望.
(2)由題意知本題是一個(gè)古典概型,試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是3m,而滿足條件的是
1
3
m+2mp
,根據(jù)古典概型公式得到關(guān)于P的方程,解方程即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)(i)由題意知本題是在相同的條件下進(jìn)行的試驗(yàn),且事件發(fā)生的概率相同,可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),恰好摸5次停止表示第五次一定摸到紅球,前四次有兩次摸到紅球,根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到
C42×(
1
3
)
2
×(
2
3
)
2
×
1
3
=
8
81

(ii)由題意知從A中有放回地摸球,每次摸出一個(gè),有3次摸到紅球即停止
∴隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2,3;
由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k,得
P(ξ=0)=C50×(1-
1
3
)
5
=
32
243
;
P(ξ=1)=C51×
1
3
×(1-
1
3
)
4
=
80
243

P(ξ=2)=C52×(
1
3
)
2
×(1-
1
3
)
3
=
80
243
;
P(ξ=3)=
C
3
3
(
1
3
)
3
+
C
2
3
(
1
3
)
2
2
3
1
3
+
C
2
4
(
1
3
)
2
(
2
3
)
2
1
3
=
17
81
. 

隨機(jī)變量ξ的分布列是
∴ξ的數(shù)學(xué)期望是Eξ=
32
243
×0+
80
243
×1+
80
243
×2+
51
243
×3=
131
81


(Ⅱ)由題意知本題是一個(gè)古典概型,
設(shè)袋子A中有m個(gè)球,則袋子B中有2m個(gè)球.
試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是3m,
而滿足條件的是
1
3
m+2mp

根據(jù)古典概型公式得到
1
3
m+2mp
3m
=
2
5
,
∴p=
13
30
點(diǎn)評(píng):解決離散型隨機(jī)變量分布列問(wèn)題時(shí),主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算,同時(shí)還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布,若服從特殊的分布則運(yùn)算要簡(jiǎn)單的多.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•浙江模擬)袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球,從A中摸出一個(gè)紅球的概率是
1
3
,從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p.若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1:2,將A、B中的球裝在一起后,從中摸出一個(gè)紅球的概率是
2
5
,則p的值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球,從A中摸出一個(gè)紅球的概率是
1
3
,從B中摸出一個(gè)紅球的概率為P.
(1)從A中有放回地摸球,每次摸出一個(gè),共摸4次.
①恰好有2次摸到紅球的概率;②第一次、第三次摸到紅球的概率.
(2)若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為4,將A、B中的球裝在一起后,從中摸出一個(gè)紅球的概率是
2
5
,求P的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球,從A中摸出一個(gè)紅球的概率是
1
3
,從B中摸出一個(gè)紅球的概率是
2
3
.現(xiàn)從兩個(gè)袋子中有放回的摸球•
(I)從A中摸球,每次摸出一個(gè),共摸5次.求:
(i)恰好有3次摸到紅球的概率;
(ii)設(shè)摸得紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的期望;
(Ⅱ)從A中摸出一個(gè)球,若是白球則繼續(xù)在袋子A中摸球,若是紅球則在袋子B中摸球,若從袋子B中摸出的是白球則繼續(xù)在袋子B中摸球,若是紅球則在袋子A中摸球,如此反復(fù)摸球3次,計(jì)摸出的紅球的次數(shù)為Y,求Y的分布列以及隨機(jī)變量Y的期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(05年浙江卷理)(14分)

袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球,從A中摸出一個(gè)紅球的概率是,從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p.

   (Ⅰ) 從A中有放回地摸球,每次摸出一個(gè),有3次摸到紅球即停止.(i)求恰好摸5次停止的概率;(ii)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布率及數(shù)學(xué)期望E

   (Ⅱ) 若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為12,將A、B中的球裝在一起后,從中摸出一個(gè)紅球的概率是,求p的值.

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