Question

已知雙曲線

x2

16

-

y2

4

=1的兩焦點為F₁、F₂．
（1）若點M在雙曲線上，且

MF1

•

MF2

=0，求M點到x軸的距離；
（2）若雙曲線C與已知雙曲線有相同焦點，且過點（3

2

，2），求雙曲線C的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由

MF1

•

MF2

=0，知MF₁⊥MF₂，可知點M在以F₁F₂為直徑的圓x²+y²=20上，與

x2

16

-

y2

4

=1聯(lián)立，消去x，可得點M到x軸的距離；
（2）設(shè)雙曲線C的方程為

x2

16+λ

-

y2

4-λ

=1，（16+λ＞4-λ＞0），代入（3

2

，2），求出λ，可得雙曲線C的方程．

解答： 解：（1）已知雙曲線

x2

16

-

y2

4

=1的焦點為F₁（-2

5

，0），F(xiàn)₂（2

5

，0）．
∵

MF1

•

MF2

=0，
∴MF₁⊥MF₂，
∴點M在以F₁F₂為直徑的圓x²+y²=20上，
與

x2

16

-

y2

4

=1聯(lián)立，消去x，可得

20-y2

16

-

y2

4

=1
∴得|y|=

2 5

5

，
∴點M到x軸的距離為

2 5

5

，
（2）設(shè)雙曲線C的方程為

x2

16+λ

-

y2

4-λ

=1，（16+λ＞4-λ＞0）
代入（3

2

，2），可得

18

16+λ

-

4

4-λ

=1，
∴λ=-4，
∴雙曲線C的方程為

x2

12

-

y2

8

=1．

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查圓與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線方程，正確設(shè)出雙曲線方程是關(guān)鍵．