Question

18．函數(shù)y=cosx（cosx+sinx）的值域?yàn)閇$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 運(yùn)用二倍角的正弦和余弦公式和兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到所求值域．

解答 解：函數(shù)y=cosx（cosx+sinx）
=cosxsinx+cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
由-1≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤1，可得
$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故答案為：[$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，主要考查二倍角公式和兩角和的正弦公式的運(yùn)用，注意運(yùn)用正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．