Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x+2|-|2x-a|，（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）＜3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，不等式即|x+2|-|2x-3|＞0，把它等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由題意，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，|a-2x|＞x-1 恒成立，分類討論x的范圍，分別求得a的范圍，綜合可得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，不等式f（x）＞0，即|x+2|-|2x-3|＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-x-2-（3-2x）＞0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x≤\frac{3}{2}}\\{x+2-（3-2x）＞0}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{x+2-（2x-3）＞0}\end{array}\right.$③，
解①求得x∈∅，解②求得$\frac{1}{3}$＜x≤$\frac{3}{2}$，解③求得$\frac{3}{2}$＜x＜5．
綜上可得，不等式f（x）＞0的解集為{x|$\frac{1}{3}$＜x＜5}．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）＜3恒成立，即|x+2|-|2x-a|＜3恒成立，即x+2-|2x-a|＜3恒成立，
即|a-2x|＞x-1 恒成立，
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，x-1＜0，顯然滿足條件，此時(shí)，a為任意值．
當(dāng)x=1時(shí)，x-1=0，此時(shí)，a≠2．
當(dāng)x＞1時(shí)，可得a-2x＞x-1，或 a-2x＜1-x．
即a＞3x-1，或a＜x+1，求得a≤2．
綜上可得，a＜2．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．