Question

14．已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)且焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，離心率$e=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，短軸長(zhǎng)為4，
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F₂作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求△AF₁B的面積．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，利用e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-16}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$可知a²=20，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）及直線AB的斜率可知直線AB方程為y=2（x-2），利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得點(diǎn)F₁到直線AB的距離|F₁C|，通過(guò)聯(lián)立直線AB與橢圓C方程，可知A、B點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間距離公式可求得|AB|，利用${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$•|F₁C|•|AB|計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-16}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴a²=20，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）由（1）知F₁（-2，0）、F₂（2，0），
依題意，直線AB的方程為：y=2（x-2），
∴點(diǎn)F₁到直線AB的距離|F₁C|=$\frac{|2•（-2）-0-4||}{\sqrt{{2}^{2}+{（-1）}^{2}}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，消去y、整理得：3x²-10x=0，
解得：x=0或$\frac{10}{3}$，
∴x_B=0、x_A=$\frac{10}{3}$，
∴y_B=2（0-2）=-4、y_A=2（$\frac{10}{3}$-2）=$\frac{8}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{10}{3}-0）^{2}+（\frac{8}{3}+4）^{2}}$
=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，
∴${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$•|F₁C|•|AB|
=$\frac{1}{2}•$$\frac{8\sqrt{5}}{5}$•$\frac{10\sqrt{5}}{3}$
=$\frac{40}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．