Question

2．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C₁：x²+y²=4，圓C₂：x²+（y-2）²=4．
（1）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C₁，C₂的極坐標(biāo)方程及其交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）求圓C₁與C₂公共弦的參數(shù)方程．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosα y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，能求出圓C₁，C₂的極坐標(biāo)方程，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2}\\{ρ=4sinθ}\end{array}\right.$，能求出圓C₁，C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)．
（2）求出圓C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，得到圓C₁與C₂公共弦過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{3}$，1），傾斜廨$α=\frac{π}{6}$，由此能求出圓C₁與C₂公共弦的參數(shù)方程．

解答 解：（1）由x=ρcosα y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
得圓C₁：x²+y²=4的極坐標(biāo)方程為ρ=2，
圓C₂：x²+（y-2）²=4，即C₂：x²+y²=4y的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2}\\{ρ=4sinθ}\end{array}\right.$，得：ρ=2，θ=±$\frac{π}{6}$，
∴圓C₁，C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{6}$），（2，-$\frac{π}{6}$）．
（2）∵圓C₁，C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{6}$），（2，-$\frac{π}{6}$），
∴圓C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為$（\sqrt{3}，1）$，（$\sqrt{3}$，-1）．
∴圓C₁與C₂公共弦過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{3}$，1），斜率k=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$α=\frac{π}{6}$，
∴圓C₁與C₂公共弦的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的極坐標(biāo)方程及其交點(diǎn)的極坐標(biāo)的求法，考查圓的公共弦的參數(shù)方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程互化公式的合理運(yùn)用．