Question

12．如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，直線l與x軸交于點E，與橢圓C交于A，B兩點．
（1）若點E的坐標為$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0}）$，點A在第一象限且橫坐標為$\sqrt{3}$，連結點A與原點O的直線交橢圓C于另一點P，求△PAB的面積；
（2）是否存在點E，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$為定值？若存在，請指出點E的坐標，并求出該定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A的坐標，寫出直線EA的方程，聯立直線方程和橢圓方程求得B的坐標，再結合已知條件求出PA的長度及PA所在直線方程，由點到直線的距離公式求出B到直線PA的距離，代入三角形面積公式得答案；
（2）假設存在點E，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$為定值，設E（x₀，0），求出當直線AB與x軸重合時，直線AB與x軸垂直時的$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$的值，列等式求出x₀，然后驗證當E為
（$\sqrt{3}，0$）時，對任意經過E點到直線AB都有$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$為定值即可．

解答 解：（1）將$x=\sqrt{3}$代入$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，解得y=±1，
∵點A在第一象限，從而得A（$\sqrt{3}，1$），
由點E的坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{2}，0$），∴${k}_{AE}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，直線EA的方程為y=$\frac{2}{\sqrt{3}}（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
聯立直線EA與橢圓C的方程，解得B（$-\frac{\sqrt{3}}{5}，-\frac{7}{5}$），
又PA過原點O，于是P（-$\sqrt{3}$，-1），PA=4，
∴直線PA的方程為$x-\sqrt{3}y=0$．
∴點B到直線PA的距離h=$\frac{|-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{7\sqrt{3}}{5}|}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
則${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}•4•\frac{3\sqrt{3}}{5}=\frac{6\sqrt{3}}{5}$；
（2）假設存在點E，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$為定值，設E（x₀，0），
當直線AB與x軸重合時，有
$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$=$\frac{1}{（{x}_{0}+\sqrt{6}）^{2}}+\frac{1}{（\sqrt{6}-{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{12+2{{x}_{0}}^{2}}{（6-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$．
當直線AB與x軸垂直時，$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$=$\frac{2}{2（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{6}）}=\frac{6}{6-{{x}_{0}}^{2}}$，
由$\frac{12+2{{x}_{0}}^{2}}{（6-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}=\frac{6}{6-{{x}_{0}}^{2}}$，解得${x}_{0}=±\sqrt{3}$，$\frac{6}{6-{{x}_{0}}^{2}}=2$，
∴若存在點E，此時E（$±\sqrt{3}$，0），$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$為定值2．
根據對稱性，只需考慮直線AB過點E（$\sqrt{3}，0$），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又設直線AB的方程為x=my+$\sqrt{3}$，與橢圓C聯立方程組，
化簡得$（{m}^{2}+3）{y}^{2}+2\sqrt{3}my-3=0$，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+3}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+3}$，
又$\frac{1}{E{A}^{2}}=\frac{1}{（{x}_{1}-\sqrt{3}）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}=\frac{1}{{m}^{2}{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{{y}_{1}}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{{y}_{1}}^{2}}+\frac{1}{（{m}^{2}+1）{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{（{m}^{2}+1）{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}$，
將上述關系代入，化簡可得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$=2．
綜上所述，存在點E（$±\sqrt{3}，0$），使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$為定值2．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用，考查計算能力，對于（2）的求解，給出了判斷存在性問題的一種方法，即利用特殊位置，求出滿足條件的點，然后驗證適用于普遍性的結論，是壓軸題．