【題目】已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,其中a1=1,且a2、a4、a6+2成等比數(shù)列;數(shù)列{bn}的前n項和為Sn , 滿足2Sn+bn=1
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;
(2)如果cn=anbn , 設數(shù)列{cn}的前n項和為Tn , 求證:Tn<Sn+ .
【答案】
(1)解:設數(shù)列{an}的公差為d,
∵a2、a4、a6+2成等比數(shù)列;
∴ =a2(a6+2),
即 =(a1+d)(a1+5d+2),d>0.
解得d=1,
∴an=1+(n﹣1)=n.
由2Sn+bn=1,
得Sn= ,
當n=1時,2S1+b1=1,解得b1= ,
當n≥2時,bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = + ,
∴ ,
∴數(shù)列{bn}是首項為 ,公比為 的等比數(shù)列,
故 .
(2)解:證明:由(1)知,cn=anbn= ,
∴Tn= +…+ ,
= +…+ + ,
得 = +…+ ﹣ = ﹣ = ﹣ ,
∴Tn= ﹣ .
又 = + = ﹣ ,
∵ = ,
∴Tn<Sn+ .
【解析】(1)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、遞推關系即可得出;(2)利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】時下,網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛,它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢,假設某網(wǎng)校的套題每日的銷售量(單位:千套)與銷售價格(單位:元/套)滿足的關系式,其中,為常數(shù).已知銷售價格為4元/套時,每日可售出套題21千套.
(1)求的值;
(2)假設網(wǎng)校的員工工資,辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價格的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(保留1位小數(shù))
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】心理學家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關,某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(男30女20),給所有同學幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學自由選擇一道題進行解答.選題情況如下表:(單位:人)
(Ⅰ)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關?
(Ⅱ)經(jīng)過多次測試后,甲每次解答一道幾何題所用的時間在5—7分鐘,乙每次解答一道幾何題所用的時間在6—8分鐘,現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點與雙曲線C2:-y2=1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=( ).
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 過點 ,且與 的交于 , .
(1) 用 表示 , 的橫坐標;
(2)設以 為焦點,過點 , 且開口向左的拋物線的頂點坐標為 ,求實數(shù)
的取值范圍.
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【題目】平面直角坐標系xoy中,橢圓C1: + =1(a>b>0)的離心率為 ,過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦,當其中一條弦所在直線斜率為0時,兩弦長之和為6.
(1)求橢圓的方程;
(2)A,B是拋物線C2:x2=4y上兩點,且A,B處的切線相互垂直,直線AB與橢圓C1相交于C,D兩點,求弦|CD|的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣alnx,其中a>0,x>0,e是自然對數(shù)的底數(shù). (Ⅰ)討論f(x)的單調性;
(Ⅱ)設函數(shù)g(x)= ,證明:0<g(x)<1.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若存在實常數(shù)k和b,使得函數(shù)F(x)和G(x)對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足:F(x)≥kx+b和G(x)≤kx+b恒成立,則稱此直線y=kx+b為F(x)和G(x)的“隔離直線”,已知函數(shù)f(x)=x2(x∈R),g(x)= (x<0),h(x)=2elnx,有下列命題:
①F(x)=f(x)﹣g(x)在 內單調遞增;
②f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”,且b的最小值為﹣4;
③f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”,且k的取值范圍是(﹣4,0];
④f(x)和h(x)之間存在唯一的“隔離直線”y=2 x﹣e.
其中真命題的個數(shù)為(請?zhí)钏姓_命題的序號)
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