Question

11．已知△ABC的面積為S，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c
（1）若S=（a+b）²-c²，a+b=4，求sinC的值；
（2）證明：$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{c^2}=\frac{{sin（{A-B}）}}{sinC}$；
（3）比較a²+b²+c²與$4\sqrt{3}S$的大�。�

Answer 1

分析 （1）由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，根據$S=\frac{1}{2}absinC={（{a+b}）^2}-{a^2}-{b^2}+2abcosC$，即可求解sinC．
（2）利用正弦定理和和與差的公式即可證明．
（3）作差進行比較即可．

解答 解：（1）由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC
∴$S=\frac{1}{2}absinC={（{a+b}）^2}-{a^2}-{b^2}+2abcosC$
∴sinC=4cosC+4，
又∵sin²C+cos²C=1
∴17sin²C-8sinC=0，
∴sinC=0或$sinC=\frac{8}{17}$
又∵C∈（0，π），∴sinC≠0，
∴$sinC=\frac{8}{17}$
（2）證明：由正弦定理，：$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{c^2}=\frac{{sin（{A-B}）}}{sinC}$；
可得：$\frac{si{n}^{2}A-si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}=\frac{sin（A-B）}{sinC}$
∵sinC≠0，
∴sin²A-sin²B=sin（A-B）sinC
sinC=sin（A+B）
右邊：sin（A-B）sinC=sin（A-B）sin（A+B）=sin²A-sin²B=左邊
故得：$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{c^2}=\frac{{sin（{A-B}）}}{sinC}$；
（3）根據S=$\frac{1}{2}$absinC
作差可得：${a^2}+{b^2}+{c^2}-4\sqrt{3}S={a^2}+{b^2}+{a^2}+{b^2}-2abcosC-2\sqrt{3}absinC$=
$2{a}^{2}+2^{2}-2ab（\sqrt{3}sinC+cosC）$=2a²+2b²-4absin（C+$\frac{π}{6}$），
當sin（C+$\frac{π}{6}$）取得最大值時，可得2a²+2b²-4absin（C+$\frac{π}{6}$）≥2（a-b）²≥0．
故得a²+b²+c²≥$4\sqrt{3}S$．

點評 本題考查了正余弦定理，和與差的公式，考查了計算能力，屬于中檔題．