已知“一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大”．
（1）設(shè)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長相等，都為l，請你用l分別表示出圓和正方形的面積，并用分析法證明該命題；
（2）類比球體與正方體，寫出一個(gè)正確的命題（不要求證明）．
分析：（1）依題意，圓的面積為π•(
l
2π
)2，正方形的面積為(
l
4
)2，根據(jù)分析法的證明步驟可得結(jié)論；
（2）周長類比表面積，面積類比體積，即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）依題意，圓的面積為π•(
l
2π
)2，正方形的面積為(
l
4
)2．
因此本題只需證明π•(
l
2π
)2＞(
l
4
)2．
要證明上式，只需證明
πl2
4π2
＞
l2
16
，
兩邊同乘以正數(shù)
4
l2
，得
1
π
＞
1
4
．
因此，只需證明4＞π．
因?yàn)?＞π恒成立，所以π•(
l
2π
)2＞(
l
4
)2．
這就證明了如果一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長相等，那么圓的面積比正方形的面積大．
（2）一個(gè)球與一個(gè)正方體的表面積相等時(shí)，球的體積比正方體的體積大．
點(diǎn)評：本題考查類比方法的運(yùn)用，考查分析法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(
2
，0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為
3
．
（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B，D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(
2
，0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為
3
．
（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）過橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，求l1，l2的方程；
（3）若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B，D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•貴陽二模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
 在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ=cosθ+sinθ和直線l：ρsin（θ-
π
4
）=
2
2
，
（I）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（II）當(dāng)θ∈（0，π）時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：成功之路·突破重點(diǎn)線·數(shù)學(xué)（學(xué)生用書） 題型：047

已知函數(shù)y＝log2(n∈N*)．

(1)當(dāng)n＝1，2，3，…時(shí)，把已知函數(shù)的圖象和直線y＝1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次記為a1，a2，a3，……，求證a1＋a2＋a3＋…＋an＜1；

(2)對于每一個(gè)n的值，設(shè)An、Bn為已知函數(shù)的圖象上與x軸距離為1的兩點(diǎn)，求證：n取任意一個(gè)正整數(shù)時(shí)，以AnBn為直徑的圓都與一條定直線相切，并求出這條定直線的方程和切點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省高三3月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分15分）

給定橢圓C：，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．

（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；

（2）若點(diǎn)是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且軸，求的取值范圍；

（3）在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷是否垂直？并說明理由．

 

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