Question

9．已知x₁，x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{2}$，求實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由原函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0求得a，b的值，則函數(shù)解析式可求；
（Ⅱ）根據(jù)x₁，x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)，得到導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0恒成立，再借助于根與系數(shù)關(guān)系得到x₁，x₂異號(hào)，由
|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{2}$，得到a，b關(guān)系，把b看作關(guān)于a的函數(shù)后求導(dǎo)得到實(shí)數(shù)b的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）．
∵x₁=-1，x₂=2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（-1）=0，f′（2）=0，
即3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，解得a=6，b=-9．
∴f（x）=6x³-9x²-36x；
（Ⅱ）∵x₁，x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴${f}^{′}（{x}_{1}）={f}^{′}（{x}_{2}）=0$，
∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0（a＞0）的兩根，
則△=4b²+12a³＞0對(duì)一切a＞0，b∈R恒成立，
而${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2b}{3a}$，x₁x₂=-$\frac{a}{3}$，又a＞0，∴x₁x₂＜0，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2b}{3a}）^{2}-4（-\frac{a}{3}）}=\sqrt{\frac{4^{2}}{9{a}^{2}}+\frac{4}{3}a}$，
由$|{x}_{1}|+|{x}_{2}|=2\sqrt{2}$，得$\sqrt{\frac{4^{2}}{9{a}^{2}}+\frac{4}{3}a}=2\sqrt{2}$，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，∴3a²（6-a）≥0，即0＜a≤6．
令h（a）=3a²（6-a），則h′（a）=-9a²+36a．
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）上是增函數(shù)；
當(dāng)4＜a＜6時(shí)，h′（a）＜0，∴h（a）在（4，6）上是減函數(shù)．
∴當(dāng)a=4時(shí)，h（a）有極大值為96，
即h（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值是4$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、化歸等思想方法，訓(xùn)練了二次函數(shù)有兩不等根條件的應(yīng)用，是壓軸題．