Question

2．已知矩陣M=$（\begin{array}{l}{1}&{m}\\{n}&{1}\end{array}）$，若向量$（\begin{array}{l}{-2}\\{1}\end{array}）$在矩陣M的變換下得到向量$（\begin{array}{l}{1}\\{3}\end{array}）$．
（Ⅰ） 求矩陣M；
（Ⅱ） 設(shè)矩陣$N（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{2}&{1}\end{array}）$，求直線x-y+1=0在矩陣NM的對(duì)應(yīng)變換作用下得到的曲線C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用矩陣變換公式，即可求矩陣N；    
（Ⅱ）求出MN，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，代人直線x+y+1=0整理，即可求曲線的方程

解答 解：（Ⅰ）由=$（\begin{array}{l}{1}&{m}\\{n}&{1}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{-2}\\{1}\end{array}）$=$[\begin{array}{l}{1}\\{3}\end{array}]$…（1分）
得$\left\{\begin{array}{l}{-2+m=1}\\{-2n+1=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=-1}\\{m=3}\end{array}\right.$…（2分）
∴M=$[\begin{array}{l}{1}&{3}\\{-1}&{1}\end{array}]$…（3分）
（Ⅱ）NM=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{2}&{1}\end{array}][\begin{array}{l}{1}&{3}\\{-1}&{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}&{3}\\{1}&{7}\end{array}]$…（4分）
設(shè)點(diǎn)（x，y）是直線x-y+1上1一點(diǎn)，在矩陣NM的對(duì)應(yīng)變換作用下得到的點(diǎn)（x′，y′），則
$[\begin{array}{l}{1}&{3}\\{1}&{7}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=x′}\\{x+7y=y′}\end{array}\right.$…（5分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{y′-x′}{4}}\\{x=\frac{7x′-3y′}{4}}\end{array}\right.$，代入x-y+1=0得2x′-y′+1=0…（6分）
即所求的曲線方程為2x-y-1=0…（7分）

點(diǎn)評(píng) 本題給出矩陣變換，求直線x+y+1=0在矩陣NM的對(duì)應(yīng)變換作用下得到的曲線方程，著重考查了矩陣與變換的運(yùn)算、曲線方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．