Question

11．已知函數(shù)f（x）=（x-2）|x+a|（a∈R）
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[-2，2]時，函數(shù)f（x）的最大值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）a=1時，f（x）=（x-2）|x+1|，分段討論可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[-2，2]時，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-（x-1）（x+a），x＜-a\\（x-1）（x+a），x≥-a\end{array}\right.$，分段討論可得函數(shù)f（x）的最大值g（a）的表達式．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=（x-2）|x+1|，
當x≤-1時，f（x）=-（x-2）（x+1）=-x²+x+2，
此時函數(shù)為增函數(shù)；
當x＞-1時，f（x）=（x-2）（x+1）=x²-x-2，
此時函數(shù)在（-1，$\frac{1}{2}$]上為減函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數(shù)；
綜上可得：當a=1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1]，[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）當x∈[-2，2]時，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-（x-1）（x+a），x＜-a\\（x-1）（x+a），x≥-a\end{array}\right.$，
①當-a≤-1，即a≥-1時，
若x∈[-2，1]，則f（x）≤0，
若x∈（1，2]，則f（x）＞0，且為增函數(shù)，
故g（a）=f（2）=2+a；
②當-a≥2且$\frac{1-a}{2}$≤2，即-3≤a≤-2時，
g（a）=f（$\frac{1-a}{2}$）=（$\frac{1-a}{2}$）²，
③當-a≥2且$\frac{1-a}{2}$＞2，即a＜-3時，
g（a）=f（2）=-2-a，
④當1＜-a＜2，即-2＜a＜-1時，
g（a）=max{f（$\frac{1-a}{2}$），f（2）}=max{（$\frac{1-a}{2}$）²，2+a}=$\left\{\begin{array}{l}a+2，1-2\sqrt{2}≤a＜-1\\（\frac{1-a}{2}）^{2}，-2＜a＜1-2\sqrt{2}\end{array}\right.$
綜上可得：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}a+2，a≥1-2\sqrt{2}\\（\frac{1-a}{2}）^{2}，-3≤a＜1-2\sqrt{2}\\-a-2，a＜-3\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，函數(shù)的最值及其幾何意義，難度中檔．