Question

16．若正實(shí)數(shù)a，b滿足（2a+b）²=1+6ab，則$\frac{ab}{2a+b+1}$的最大值為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 正實(shí)數(shù)a，b滿足（2a+b）²=1+6ab，可得ab=$\frac{（2a+b）^{2}-1}{6}$，由（2a+b）²=1+6ab≤1+$3×（\frac{2a+b}{2}）^{2}$，解得2a+b≤2．于是$\frac{ab}{2a+b+1}$=$\frac{（2a+b）^{2}-1}{6（2a+b）+6}$=$\frac{2a+b-1}{6}$，即可得出．

解答 解：∵正實(shí)數(shù)a，b滿足（2a+b）²=1+6ab，
∴ab=$\frac{（2a+b）^{2}-1}{6}$．
∵（2a+b）²=1+6ab≤1+$3×（\frac{2a+b}{2}）^{2}$，
解得2a+b≤2．當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=1取等號(hào)．
則$\frac{ab}{2a+b+1}$=$\frac{（2a+b）^{2}-1}{6（2a+b）+6}$=$\frac{2a+b-1}{6}$≤$\frac{2-1}{6}$=$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{ab}{2a+b+1}$的最大值為$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．