2.四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△BCD的邊長為$\sqrt{3}$的等邊三角形,AD=2,AB=1,點(diǎn)F在線段AP上.
(Ⅰ)求證:CD⊥平面PAD;
(Ⅱ)若BF∥平面PCD,△PAD是等邊三角形,求點(diǎn)F到平面PCD的距離.

分析 (Ⅰ)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明平面PAD⊥平面ABCD即可證明CD⊥平面PAD;
(Ⅱ)根據(jù)點(diǎn)到平面的距離的定義作出點(diǎn)F到平面的距離,結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可.

解答 解:(Ⅰ)∵AB=1,AD=2,BD=$\sqrt{3}$,
∴cos∠ADB=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
則∠ADB=30°,
∵△BCD是等邊三角形,∴∠BDC=60°,
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°,即CD⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
CD?平面ABCD,
∴CD⊥平面PAD
(Ⅱ) 在平面ABCD內(nèi)過B作BG∥CD,交AD于G,BG?平面PCD,CD?平面PCD,
則BG∥平面PCD,
由(1)得CD⊥AD,∴BG⊥AD,
連接GF,
∵BF∥平面PCD,BF,BG?平面FBG,BF∩BG=B,
∴平面FBG∥平面PCD,
∵平面PAD分別交平面FBG,PCD于FG,PD,
∴FG∥PD,
∴$\frac{PF}{PA}=\frac{DG}{DA}$,
則直角三角形BGD中,BD=$\sqrt{3}$,∠BDG=30°,
DG=BDcos30°=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{PF}{PA}=\frac{DG}{DA}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$,
在平面PAD內(nèi)過F作FH⊥PD于H,
∵CD⊥平面PAD,面FHC?面PAD,
∴CD⊥FH,
∵PD,CD?平面PCD,PD∩CD=D,
∴FH⊥平面PCD于H,
則FH是點(diǎn)F到平面PCD的距離.
過A作AM⊥PD于M,
∵△PAD是邊長為2的等邊三角形,
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\sqrt{3}$,
∵FH∥AM,∴$\frac{FH}{AM}$=$\frac{PF}{PA}=\frac{DG}{DA}$=$\frac{3}{4}$,
∴FH=$\frac{3}{4}$AM=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$,
即點(diǎn)F到平面PCD的距離是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查考查空間直線和平面垂直的判斷以及點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算,根據(jù)相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理以及點(diǎn)到平面的距離的定義是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),難度較大.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知底面為正方形的四棱錐P-ABCD內(nèi)接于半徑為1的球.頂點(diǎn)P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心.當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí),四棱錐的高為$\frac{4}{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某多面體的三視圖,則此多面體的體積等于( 。
A.$\frac{32}{3}$B.16C.$\frac{64}{3}$D.32

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1,圖中粗線畫出的是某四棱錐的三視圖,則該四棱錐的四個(gè)側(cè)面中面積最大的一個(gè)側(cè)面的面積為( 。
A.8$\sqrt{6}$B.8$\sqrt{2}$C.8D.6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.求函數(shù)y=$\sqrt{4x-3}$+$\sqrt{11-4x}$($\frac{3}{4}$<x<$\frac{11}{4}$)的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.若正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+y2=9,x2+z2+xz=16,y2+z2+$\sqrt{3}$yz=25,則2xy+$\sqrt{3}$xz+yz=18.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.在數(shù)列{an}中,己知a1=1,an-1=(1-$\frac{1}{n}$)an-$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$(n≥2且n∈N*
(1)若bn=$\frac{{a}_{n}}{n}$,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn,問在△ABC中是否存在內(nèi)角θ使Sn-n•tan2θ+5≥$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$對(duì)任意的n∈N*恒成立,若存在,求出角θ的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.如圖,一個(gè)用斜二測法畫出的水平放置的平面直觀圖,是一個(gè)直角梯形,O′A=5,AB=2,BD=3,∠O′AB=∠ABD=90°,則它的實(shí)際圖形和面積分別是( 。
A.直角梯形、面積是16$\sqrt{2}$B.直角梯形、面積是8
C.梯形非直角,面積是16D.梯形非直角,面積是8$\sqrt{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.M是拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),以Fx為始邊,F(xiàn)M為終邊的角∠xFM=60°,若|FM|=4,則p=( 。
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案