Question

16．已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且|AB||AC|=4，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為$\frac{1}{2}$、x、y，則$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值為（　�。�

• A． 20
• B． 19
• C． 18
• D． 16

Answer 1

分析 利用三角形的面積公式求得x+y的值，進(jìn)而把$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$轉(zhuǎn)化成2（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）•（x+y），利用基本不等式求得$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值．

解答 解：由|AB||AC|=4，∠BAC=30°，
得S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin∠BAC=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{1}{2}$=1，
故S_△ABC=x+y+$\frac{1}{2}$=1⇒x+y=$\frac{1}{2}$，
而$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=2（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）•（x+y）
=2（5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）≥2（5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$）=18，
故選C．

點(diǎn)評 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，三角形的面積公式的運(yùn)用．要注意靈活利用y=ax+$\frac{x}$的形式．