Question

8．設A（-1，0），B（1，0），動點M（x，y）滿足MA=$\sqrt{2}$MB，則u=$\frac{2x+y-6}{x-y-3}$的取值范圍是R．

Answer 1

分析 求出動點M滿足的方程是什么，再利用參數(shù)法表示出點M的坐標，代入u中，利用三角函數(shù)求出u的取值范圍．

解答 解：設M（x，y），
∵A（-1，0），B（1，0），
∴MA=$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+y}^{2}}$，MB=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}$；
∵點M滿足MA=$\sqrt{2}$MB，
∴$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}$，
即（x+1）²+y²=2（x-1）²+2y²，
化簡整理得x²+y²-6x+1=0，
∴（x-3）²+y²=8；
設x-3=2$\sqrt{2}$cosθ，y=2$\sqrt{2}$sinθ，
∴x=3+2$\sqrt{2}$cosθ；
把x=3+2$\sqrt{2}$cosθ，y=2$\sqrt{2}$sinθ代入u，
得u=$\frac{2（3+2\sqrt{2}cosθ）+2\sqrt{2}sinθ-6}{（3+2\sqrt{2}cosθ）-2\sqrt{2}sinθ-3}$
=$\frac{4\sqrt{2}cosθ+2\sqrt{2}sinθ}{2\sqrt{2}cosθ-2\sqrt{2}sinθ}$；
當cosθ=0時，u=-1，
當cosθ≠0時，u=$\frac{2+tanθ}{1-tanθ}$=$\frac{3}{1-tanθ}$-1，
∵1-tanθ≠0，∴$\frac{3}{1-tanθ}$≠0，
∴u≠-1；
綜上，u的取值范圍是R．
故答案為：R．

點評 本題考查了直線與圓的方程的應用問題，也考查了求函數(shù)取值范圍的應用問題，是綜合性題目．