Question

20．函數(shù)f（x）=log₂（2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x）的定義域和值域．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，列出不等式，求出x的取值范圍即可；
根據(jù)三角函數(shù)的有界性，求出對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)的取值范圍，從而得出f（x）的值域．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log₂（2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x）
=log₂（$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1）
=log₂[2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1]，
令2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1＞0，
解得sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞-$\frac{1}{2}$，
即-$\frac{π}{6}$+2kπ＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z；
解得-$\frac{π}{6}$+kπ＜x＜$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；
∴f（x）的定義域?yàn)椋?$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{2}$+kπ），k∈Z；
又∵-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-2≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2，
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1≤3；
應(yīng)取0＜2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1≤3，
∴l(xiāng)og₂[2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1]≤log₂3，
即f（x）的值域?yàn)椋?∞，log₂3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．