Question

5．已知a，b，c∈R+，且abc=1，求證：$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 由a，b，c∈R+，且abc=1，運(yùn)用基本不等式證得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=bc+ac≥2$\sqrt{c}$，$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥2$\sqrt{a}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$≥2$\sqrt$，相加即可得證．

解答 證明：由a，b，c∈R+，且abc=1，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=bc+ac≥2$\sqrt{ab{c}^{2}}$=2$\sqrt{c}$，
$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=ac+ab≥2$\sqrt{{a}^{2}bc}$=2$\sqrt{a}$，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=bc+ab≥2$\sqrt{a^{2}c}$=2$\sqrt$，
上面三式，相加可得，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$，
即為$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，取得等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用和累加法的運(yùn)用，以及推理能力，屬于中檔題．