Question

11．已知函數(shù)f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx-1．
（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）當(dāng)b=1，a≥0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=0，b=-4時(shí)，方程2m=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$有唯一實(shí)數(shù)根，求正實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由a=b=1時(shí)，求得函數(shù)解析式，求導(dǎo)，由函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可求得函數(shù)的最大值；
（2）由b=1，分類(lèi)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=0，b=-4時(shí)，f（x）=2lnx+4x-1，2m=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$有唯一實(shí)數(shù)根，構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），求導(dǎo)，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，由直線(xiàn)y=2m與g（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，即可求得正實(shí)數(shù)m的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$x²-x-1，定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2}{x}$-x-1=-$\frac{{x}^{2}+x-2}{x}$=-$\frac{（x+2）（x-1）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
故f（x）的極大值是f（1）=-$\frac{5}{2}$，
∴f（x）的最大值f（x）_max=-$\frac{5}{2}$；
（2）當(dāng)b=1，f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$ax²-x-1．
求導(dǎo)f′（x）=$\frac{2}{x}$-ax-1=-$\frac{a{x}^{2}+x-2}{x}$，（x＞0），
當(dāng)a=0，令f′（x）=0，解的：x=2，
當(dāng)0＜x＜2，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞2，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)a＞0時(shí)，令g（x）=ax²+x-2，△=1+8a，
△=1+8a＞0恒成立，
則g（x）由兩個(gè)根x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由f（x）的對(duì)稱(chēng)軸x=-$\frac{1}{2a}$＜0，由x₁+x₂=-$\frac{1}{a}$＜0，x₁x₂=$\frac{1}{a}$＞0，
∴x₁＜0＜x₂，
令ax²+x-2=0，解得：x₁=$\frac{-1-\sqrt{1+8a}}{2a}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a}$，
∴當(dāng)0＜x＜x₂，g（x）＜0，則f′（x）＞0，
當(dāng)x＞x₂時(shí)，g（x）＞0，則f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（0，$\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a}$），單調(diào)遞減區(qū)間（$\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a}$，+∞）；
綜上可知：當(dāng)a=0，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間（2，+∞）；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（0，$\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a}$），單調(diào)遞減區(qū)間（$\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a}$，+∞）；
（3）當(dāng)a=0，b=-4時(shí)，f（x）=2lnx+4x-1，2m=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$有唯一實(shí)數(shù)根，
顯然m≠0，則2m=$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令y=2m，則g（x）=$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
求導(dǎo)g′（x）=$\frac{4（1-x-lnx）}{{x}^{3}}$，而h（x）=1-x-lnx在（0，+∞）單調(diào)遞減，且h（1）=0，
當(dāng)0＜x＜1，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（1）=3，
由 $\underset{lim}{x→∞}$g（x）=-∞，
則$\underset{lim}{x→∞}$g（x）=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{\frac{2}{x}+4}{2x}$=0，
如圖當(dāng)2m=3，或2m＜0時(shí)，則y=2m與g（x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
解得：m=$\frac{3}{2}$或m＜0，
∴正實(shí)數(shù)m的值$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求切線(xiàn)方程，求函數(shù)的最值等知識(shí)，注意恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化及構(gòu)造法的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，屬難題．