Question

已知函數f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R
（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,復合三角函數的單調性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）將函數f（x）化簡得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）．從而可求單調遞增區(qū)間；
（2）由函數的圖象可知，f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上單調遞增，在[

3π

8

，

3π

4

]單調遞減，當x=

3π

8

時取最大值

2

，當x=

3π

4

時，取最小值-1．

解答： 解：（1）f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=2sinxcosx-2cos²x+1=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
所以，函數f（x）的單調遞增區(qū)間為：

[kπ- π 8 ，kπ+ 3π 8 ](k∈Z)

．
（2）函數f（x）的單調遞減區(qū)間為：

[kπ+ 3π 8 ，kπ+ 7π 8 ](k∈Z)

．
由函數的圖象可知，f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上單調遞增，在[

3π

8

，

3π

4

]單調遞減，
當x=

3π

8

時取最大值

2

，當x=

3π

4

時，取最小值-1，
故

2

sin(2x-

π

4

)∈(-1，

2

)．

點評：本題主要考察二倍角的正弦和復合三角函數的單調性，屬于中檔題．