Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)為常數(shù)，數(shù)列滿足：，，．
（1）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，證明對(duì)有：；
（3）若，且對(duì)，有，證明：．

Answer 1

（1），
（2）可以用裂項(xiàng)法求和進(jìn)而證明也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明
（3）可以用基本不等式證明也可以用導(dǎo)數(shù)證明，還可以利用數(shù)列的單調(diào)性證明

解析試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，
兩邊取倒數(shù)，得，                                           ……2分
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
，，．                                      ……4分
（2）證法1：由（1）知，故對(duì)
         ……6分
所以 
．                            ……9分
[證法2：①當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊，等式右邊，左邊=右邊，等式成立；                                                  ……5分
②假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，
即，
則當(dāng)時(shí)

這就是說(shuō)當(dāng)時(shí)，等式成立，                                       ……8分
綜①②知對(duì)于有：
．                      ……9分】
（3）當(dāng)時(shí)，
則，                              ……10分
∵，
∴                      ……11分

．                          ……13分
∵與不能同時(shí)成立，∴上式“=”不成立，
即對(duì)，．                                    ……14分
【證法二：當(dāng)時(shí)，，
則                                       ……10分
又