Question

14．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=-f（x），且x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），給出下列結(jié)論：
①f（3）=1；
②函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
④若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上的所有根之和為-8．
則其中正確的命題為①②④．

Answer 1

分析 運用條件定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=-f（x），得出函數(shù)f（x）周期為8，x=2，x=-2均為對稱軸，即可判斷每一個選項正確與否．

解答 解：由條件可知，函數(shù)f（x）周期為8，x=2，x=-2均為對稱軸，
①中，令x=-1，則f（3）=f（4-1）=-f（-1）=f（1）=log₂（1+1）=1，故①正確；
②中，f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，由f（x）關(guān)于x=-2對稱，所以f（x）在在[-6，-2]上是減函數(shù)；
故②正確；
③中，f（0）≠f（2），可知f（x）的圖象不關(guān)于直線x=1對稱；故③不正確；
④中，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-6，x=2對稱；，可知f（x）=m，（m∈（0，1））的根有4個，分別記為x₁，x₂，x₃，x₄，
有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-6，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=2，故x₁+x₂+x₃+x₄=8
故④正確
故答案為：①②④

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，對稱性，單調(diào)性的綜合運用，屬于中檔題，考查了學(xué)生的分析問題的能力．