Question

11．已知{a_n}是等差數(shù)列，且滿足a₁•a₅=9，a₂+a₄=10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）求數(shù)列{a_n}的公差數(shù)列d＞0時，{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)求出a₁、a₅，由等差數(shù)列的通項公式求出公差，即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）和d＞0確定數(shù)列a_n，代入b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$化簡，利用裂項相消法求出T_n．

解答 解：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得，a₂+a₄=a₁+a₅=10，
又a₁•a₅=9，則a₁、a₅是方程x²-10x+9=0的兩個根，
解得a₁=1、a₅=9或a₁=9、a₅=1，
則當(dāng)a₁=1、a₅=9時，公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
當(dāng)a₁=9、a₅=1時，公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=-2，
所以a_n=-2n+11；
（2）由（1）得d=2，則a_n=2n-1，
所以b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
則T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-$$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）]
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)，以及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．