Question

1．已知Rt△ABC中，AB=3，AC=1，$∠A=\frac{π}{2}$，以B，C為焦點的雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）經(jīng)過點A，且與AB邊交于點D，若$\frac{{|{AD}|}}{{|{BD}|}}$的值為（　�。�

• A． $\frac{7}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 運用雙曲線定義，可得2a=3-1=2，設(shè)|BD|=t，運用雙曲線的定義，求得|DC|，|AD|，再由直角三角形的勾股定理，解方程可得t，進而得到|AD|，即可得到答案．

解答 解：如圖，雙曲線的焦點為B（-c，0），C（c，0），
由雙曲線的定義可得|AB|-|AC|=2a=3-1=2，
設(shè)|BD|=t，由雙曲線的定義可得|DC|=2a+|BD|=2a+t=2+t，
又|AD|=3-t，
在直角三角形ACD中，|AC|²+|AD|²=|CD|²，
即為1+（3-t）²=（2+t）²，
解得t=0.6，|AD|=3-0.6=2.4．
則$\frac{{|{AD}|}}{{|{BD}|}}$的值為$\frac{2.4}{0.6}$=4．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義的運用，考查直角三角形的勾股定理，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．