Question

4．函數(shù)f（x）=[x]-x（函數(shù)y=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，如（[-3.6]=-4，[2.1]=2），設(shè)函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+lgx（x＞0）}\\{f（x）-sinx（-2π＜x＜0）}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=g（x）的零點的個數(shù)為（　�。�

• A． 11
• B． 10
• C． 12
• D． 13

Answer 1

分析 分類討論：①當(dāng)x＞0時，f（x）=[x]-x，當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=-x；當(dāng)1≤x＜2時，f（x）=1-x；…，當(dāng)10≤x＜11時，f（x）=10-x；…，當(dāng)11≤x＜12時，f（x）=11-x；…．函數(shù)y=-lgx，（x＞0）．利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出零點個數(shù)．
②當(dāng)x＜0時，f（x）=[x]-x，當(dāng)-1≤x＜0時，f（x）=-1-x；…，當(dāng)-6≤x＜-5時，f（x）=-6-x；當(dāng)-2π＜x＜-6時，f（x）=-7-x．函數(shù)y=sinx，（x＞0）．如圖所示，即可得出函數(shù)零點個數(shù)．

解答 解：①當(dāng)x＞0時，f（x）=[x]-x，當(dāng)0＜x＜1時，f（x）=-x；
當(dāng)1≤x＜2時，f（x）=1-x；…，當(dāng)10≤x＜11時，f（x）=10-x；…，
當(dāng)11≤x＜12時，f（x）=11-x；…函數(shù)y=-lgx，（x＞0）．
因此；當(dāng)0＜x＜1時，-lgx＞0，
此時函數(shù)g（x）無零點；當(dāng)1≤x≤10時，
0≥-lgx≥-1，此時函數(shù)g（x）有9個零點
當(dāng)10＜x時，-lgx＜-1，
此時函數(shù)g（x）無零點．
②當(dāng)x＜0時，f（x）=[x]-x，
當(dāng)-1≤x＜0時，f（x）=-1-x；
當(dāng)-2≤x＜-1時，f（x）=-2-x；…，
當(dāng)-6≤x＜-5時，f（x）=-6-x；當(dāng)-2π＜x＜-6時，f（x）=-7-x．
函數(shù)y=sinx，（x＞0）．如圖所示：此時函數(shù)g（x）有3個零點．
綜上可得：函數(shù)g（x）共有12個零點．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于難題．