Question

4．函數(shù)f（x）=[x]-x（函數(shù)y=[x]的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如（[-3.6]=-4，[2.1]=2），設(shè)函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+lgx（x＞0）}\\{f（x）-sinx（-2π＜x＜0）}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 11
• B． 10
• C． 12
• D． 13

Answer 1

分析 分類討論：①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=[x]-x，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=-x；當(dāng)1≤x＜2時(shí)，f（x）=1-x；…，當(dāng)10≤x＜11時(shí)，f（x）=10-x；…，當(dāng)11≤x＜12時(shí)，f（x）=11-x；…．函數(shù)y=-lgx，（x＞0）．利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
②當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=[x]-x，當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）=-1-x；…，當(dāng)-6≤x＜-5時(shí)，f（x）=-6-x；當(dāng)-2π＜x＜-6時(shí)，f（x）=-7-x．函數(shù)y=sinx，（x＞0）．如圖所示，即可得出函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=[x]-x，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=-x；
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，f（x）=1-x；…，當(dāng)10≤x＜11時(shí)，f（x）=10-x；…，
當(dāng)11≤x＜12時(shí)，f（x）=11-x；…函數(shù)y=-lgx，（x＞0）．
因此；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，-lgx＞0，
此時(shí)函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)1≤x≤10時(shí)，
0≥-lgx≥-1，此時(shí)函數(shù)g（x）有9個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)10＜x時(shí)，-lgx＜-1，
此時(shí)函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)．
②當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=[x]-x，
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）=-1-x；
當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，f（x）=-2-x；…，
當(dāng)-6≤x＜-5時(shí)，f（x）=-6-x；當(dāng)-2π＜x＜-6時(shí)，f（x）=-7-x．
函數(shù)y=sinx，（x＞0）．如圖所示：此時(shí)函數(shù)g（x）有3個(gè)零點(diǎn)．
綜上可得：函數(shù)g（x）共有12個(gè)零點(diǎn)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．