Question

16．己知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx）．
（Ⅰ）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2且x∈[$\frac{π}{2}$，π]，求x的值
（Ⅱ）設函數f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，若方程f（x）-k=0在x∈[$\frac{π}{2}$，π]上恰有兩個相異的實根α、β，
（1）寫出實數k的取值范圍（不必說明理由）
（2）求α+β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，根據向量的模長公式求得即可求得k的取值范圍，由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，即可求得k的值；
（Ⅱ）求得f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的解析式，根據三角二倍角公式及輔助角公式，根據三角函數圖象，將方程f（x）-k=0在x∈[$\frac{π}{2}$，π]上恰有兩個相異的實根α、β轉化成y=k-$\frac{1}{2}$，與y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）在[$\frac{π}{2}$，π]，上由兩個不同的交點，即可求得k的取值范圍；根據函數圖象，α和β關于x=$\frac{5π}{6}$對稱，即可求得α+β的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinx-cosx，0）=（2sin（x-$\frac{π}{6}$），0），
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2sin（x-$\frac{π}{6}$）=2，
∴x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，
由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，x=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
f（x）-k=0?sin（2x-$\frac{π}{6}$）=k-$\frac{1}{2}$，其中x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
由三角函數圖象可知：

sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈（-1，-$\frac{1}{2}$），
即k-$\frac{1}{2}$∈（-1，-$\frac{1}{2}$），即k∈（-$\frac{1}{2}$，0），y=k-$\frac{1}{2}$與y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）在[$\frac{π}{2}$，π]上由兩個不同的交點，
由上圖可知：α和β關于x=$\frac{5π}{6}$對稱，
∴α+β=2×$\frac{5π}{6}$=$\frac{5π}{3}$，
故α+β=$\frac{5π}{3}$．

點評 本題考查向量與三角函數綜合應用，考查正弦函數圖象及性質，考查分析問題及解決問題能力，屬于中檔題．