Question

已知點(diǎn)F為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m（m≠0），點(diǎn)D為準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)．

（Ⅰ）求直線PF的方程；

（Ⅱ）求△DAB的面積S范圍；

（Ⅲ）設(shè)，，求證λ+μ為定值．

Answer 1

 解：（Ⅰ）由題知點(diǎn)P，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，m），（1，0），

于是直線PF的斜率為，

所以直線PF的方程為，即為mx+2y﹣m=0．（3分）

（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），

由得m²x²﹣（2m²+16）x+m²=0，

所以，x₁x₂=1．

于是．

點(diǎn)D到直線mx+2y﹣m=0的距離，

所以．

因?yàn)閙∈R且m≠0，于是S＞4，

所以△DAB的面積S范圍是（4，+∞）．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x₁，﹣y₁）=λ（x₂﹣1，y₂），（﹣1﹣x₁，m﹣y₁）

=μ（x₂+1，y₂﹣m），

于是，（x₂≠±1）．

所以．

所以λ+μ為定值0．（14分）