Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，且直線PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E為CD的中點，∠ABC=60°．
（Ⅰ） 求證：直線EA⊥平面PAB；
（Ⅱ） 求直線AE與平面PCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，∴△AED是以∠AED為直角的Rt△；
又∵AB∥CD，∴EA⊥AB；
又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA；
且AB∩PA=A，
∴EA⊥平面PAB；
（Ⅱ）如圖所示，連結PE，過A點作AH⊥PE于H點，
∵CD⊥EA，CD⊥PA，且PA∩EA=A，
∴CD⊥平面PAE；
又AH平面PAE，
∴AH⊥CD；
又AH⊥PE，且CD∩AE=E，
∴AH⊥平面PCD，
∴∠AEP為直線AE與平面PCD所成角
在Rt△PAE中，∵PA=2，AE= = ，
∴tan∠AEP= = = ．

【解析】（1）只需證明直線EA⊥AB，且EA⊥PA即可；（2）先證明AH⊥平面PCD，得出∠AEP為直線AE與平面PCD所成角，在Rt△PAE中計算tan∠AEP的值．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．