【題目】已知數(shù)列{an}的首項為2,前n項和為Sn , 且 ﹣ = (n∈N*).
(1)求a2的值;
(2)設bn= ,求數(shù)列{bn}的通項公式;
(3)若am , ap , ar(m,p,r∈N* , m<p<r)成等比數(shù)列,試比較p2與mr的大小,并證明.
【答案】
(1)解:∵a1=2,且 ﹣ = (n∈N*).∴ = ,解得a2=
(2)解:由 ﹣ = (n∈N*),可得:4Sn﹣1= ,
當n≥2時,4Sn﹣1﹣1= ,
相減可得:4an= ﹣ ,an≠0,
可得: ﹣ =2,變形為 ﹣ =2,
化為: ﹣ =1,
∴bn﹣bn﹣1=1,
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,首項為 = ,公差為1.
∴bn= +(n﹣1)=
(3)解:由(2)可得: = ,化為: = .
∴an= × ×…× × ×a1= × ×…× × ×2= .n=1時也成立.
∴an= .
∵am,ap,ar(m,p,r∈N*,m<p<r)成等比數(shù)列,
∴ =amar,
∴ = × ,
化為:(4p﹣1)2=(4m﹣1)(4r﹣1),
∴(4p﹣1)2=16mr﹣4(m+r)+1≤16mr﹣8 +1= ,
∴4p﹣1≤4 ﹣1,
可得p2≤mr,等號不成立,因此p2<mr
【解析】(1)由a1=2,且 ﹣ = (n∈N*).n=1時可得: = ,解得a2 . (2)由 ﹣ = (n∈N*),可得:4Sn﹣1= ,當n≥2時,利用遞推關系可得: ﹣ =2,化為: ﹣ =1,即bn﹣bn﹣1=1,利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.(3)由(2)可得: = ,化為: = .利用“累乘求積”可得:an= .由am , ap , ar(m,p,r∈N* , m<p<r)成等比數(shù)列,可得 = × ,(4p﹣1)2=16mr﹣4(m+r)+1,再利用基本不等式的性質即可得出.
【考點精析】認真審題,首先需要了解等比數(shù)列的通項公式(及其變式)(通項公式:),還要掌握數(shù)列的通項公式(如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法中,正確的是 .
①任取x>0,均有3x>2x;
②當a>0,且a≠1時,有a3>a2;
③y=( )﹣x是減函數(shù);
④函數(shù)f(x)在x>0時是增函數(shù),x<0也是增函數(shù),所以f(x)是增函數(shù);
⑤若函數(shù)f(x)=ax2+bx+2與x軸沒有交點,則b2﹣8a<0且a>0;
⑥y=x2﹣2|x|﹣3的遞增區(qū)間為[1,+∞).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設集合A={x|x+2<0},B={x|(x+3)(x﹣1)>0}.
(1)求集合A∩B;
(2)若不等式ax2+2x+b>0的解集為A∪B,求a,b的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足c=2,C= .
(Ⅰ)若a= ,求角A的大;
(Ⅱ)若△ABC的面積等于 ,求a,b的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一同學在電腦中打出如下若干個圓:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…,若依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圓,則在前2012個圓中共有●的個數(shù)是( )
A.61
B.62
C.63
D.64
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知動點滿足: .
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設過點的直線與曲線交于兩點,點關于軸的對稱點為(點與點不重合),證明:直線恒過定點,并求該定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體AC1的棱長為1,過點A作平面A1BD的垂線,垂足為點H,則以下命題中,錯誤的命題是( )
A.點H是△A1BD的垂心
B.AH垂直平面CB1D1
C.AH的延長線經(jīng)過點C1
D.直線AH和BB1所成角為45°
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,且直線PA⊥平面ABCD,又棱PA=AB=2,E為CD的中點,∠ABC=60°.
(Ⅰ) 求證:直線EA⊥平面PAB;
(Ⅱ) 求直線AE與平面PCD所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】根據(jù)所給條件求直線的方程:
(1)直線過點(﹣4,0),傾斜角的正弦值為 ;
(2)直線過點(﹣2,1),且到原點的距離為2.
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