Question

（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

已知函數，其中常數a > 0．

(1) 當a = 4時，證明函數f(x)在上是減函數；

(2) 求函數f(x)的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）任取0<x₁<x₂≤2，則f(x₁)–f(x₂)=，

因為0<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)；

（2）。

【解析】

試題分析：(1) 當時，，…………………………………………1分

任取0<x₁<x₂≤2，則f(x₁)–f(x₂)=………………3分

因為0<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)………………………………………5分

所以函數f(x)在上是減函數；………………………………………………………6分

(2)，……………………………………………………7分

當且僅當時等號成立，…………………………………………………………8分

當，即時，的最小值為，………………………10分

當，即時，在上單調遞減，…………………………………11分

所以當時，取得最小值為，………………………………………………13分

綜上所述： ………………………………………14分

考點：函數的單調性和最值；基本不等式。

點評：用定義法證明函數單調性的步驟：一設二作差三變形四判斷符號五得出結論，其中最重要的是四變形，最好變成幾個因式乘積的形式，這樣便于判斷符號。