Question

9．給出下列四個命題，其中正確命題的序號是（　　）
①已知f（x）=x²+bx+c是偶函數，則b=0
②若函數f（x）的值域為[0，2]，則函數f（2x）的值域為[0，2]
③若函數f（x）的定義域為[0，2]，則函數f（2x）的定義域為[0，4]；
④已知集合P={a，b}，Q={-1，0，1}則映射f：P→Q中滿足f（b）=0的映射共有3個．
⑤如果二次函數y=3x²+2（a-1）x+b在區(qū)間（-∞，1]上是減函數，那么a的取值范圍是a≤-2．

• A． ①②⑤
• B． ①②④⑤
• C． ①②③⑤
• D． ①③④⑤

Answer 1

分析 ①利用偶函數的性質可得：f（-x）=f（x），化為2bx=0，對于任意實數x都成立，則b=0，即可判斷出正誤；
②由函數f（x）的值域為[0，2]，則函數f（2x）的值域沒有改變，即可判斷出正誤；
③由函數f（x）的定義域為[0，2]，由0≤2x≤2，解得x即可得出函數f（2x）的定義域為，即可判斷出正誤；
④映射f：P→Q中滿足f（b）=0的映射為：f（b）=0，f（a）=0，-1，1，共有3個，即可判斷出正誤．
⑤利用二次函數的單調性可得：1≤$-\frac{2（a-1）}{3×2}$，解得a范圍，即可判斷出正誤．

解答 解：對于①，∵f（x）=x²+bx+c是偶函數，∴f（-x）=f（x），化為2bx=0，對于任意實數x都成立，則b=0，正確；
對于②，若函數f（x）的值域為[0，2]，則函數f（2x）的值域沒有改變，仍然為[0，2]，正確；
對于③，若函數f（x）的定義域為[0，2]，由0≤2x≤2，解得0≤x≤1，則函數f（2x）的定義域為[0，1]，因此不正確；
對于④，集合P={a，b}，Q={-1，0，1}，則映射f：P→Q中滿足f（b）=0的映射為：f（b）=0，f（a）=0，-1，1，共有3個，正確．
對于⑤，如果二次函數y=3x²+2（a-1）x+b在區(qū)間（-∞，1]上是減函數，則1≤$-\frac{2（a-1）}{3×2}$，解得a≤-2．那么a的取值范圍是a≤-2．因此正確．
綜上可知：正確的為①②④⑤．
故選：B．

點評 本題考查了函數的單調性與奇偶性、定義域與值域等性質、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．