Question

4．如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，點D，E分別是AC，AB的中點，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥DC如圖（2）所示，M為A₁D的中點，求CM與面A₁EB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DE為y軸，DA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出CM與面A₁EB所成角的正弦值．

解答 解：如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，點D，E分別是AC，AB的中點，
∴AD=CD=2，DE=1，AD⊥DE，CD⊥DE，
將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥DC如圖（2）所示，
M為A₁D的中點，
∴DC、DE、DA兩兩垂直，DE=1，
以D為原點，DA為x軸，DE為y軸，DA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
C（2，0，0），M（0，0，1），A₁（0，0，2），
E（0，1，0），B（2，2，0），
$\overrightarrow{CM}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，2，-2），
設(shè)平面A₁BE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=2x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，2，1），
設(shè)CM與面A₁EB所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CM}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2+1}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴CM與面A₁EB所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．