已知在單位圓x2+y2=1上任取一點(diǎn)M,作MN⊥x軸,垂足為N,
NQ
=
2
NM

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A(a,0),點(diǎn)P為曲線C上任一點(diǎn),求點(diǎn)A到點(diǎn)P距離的最大值d(a);
(Ⅲ)在0<a<1的條件下,設(shè)△POA的面積為S1(O是坐標(biāo)原點(diǎn),P是曲線C上橫坐標(biāo)為a的點(diǎn)),以d(a)為邊長(zhǎng)的正方形的面積為S2.若正數(shù)m滿足S1
1
4
mS2
,問(wèn)m是否存在最小值,若存在,請(qǐng)求出此最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn):圓與圓錐曲線的綜合
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(I)設(shè)點(diǎn)Q(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0).通過(guò)向量運(yùn)算可用Q的坐標(biāo)表示點(diǎn)M的坐標(biāo),代入單位圓的方程即可;
(II)設(shè)P(x,y),則y2=2-2x2.再利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|PA|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2-2x2=-(x+a)2+2a2+2,令f(x)=-(x+a)2+2a2+2,x∈[-1,1],通過(guò)討論頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)-a與-1,1的大小關(guān)系,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可;
(III)由題意分別表示出S1及S2,由正數(shù)m滿足S1
1
4
mS2
,通過(guò)分離參數(shù)得到m≥
a
2(1-a2)
a2+1
,令f(a)=
2a2(1-a2)
(a2+1)2
,通過(guò)換元t=a2+1,則t∈(1,2),a2=t-1.得到f(t),利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答: 解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)Q(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0)
NQ
=(x-x0,y),
NM
=(0,y0)

NQ
=
2
NM
,
(x-x0,y)=
2
(0,y0)

x-x0=0
y=
2
y0
,∴
x0=x
y0=
2
2
y
(*)
∵點(diǎn)M(x0,y0)在單位圓x2+y2=1上,即
x
2
0
+
y
2
0
=1

把(*)代入得x2+
y2
2
=1
,即為動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程.
(Ⅱ)設(shè)P(x,y),則y2=2-2x2
∴|PA|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2-2x2=-(x+a)2+2a2+2,
令f(x)=-(x+a)2+2a2+2,x∈[-1,1],
所以,當(dāng)-a<-1,即a>1時(shí),f(x)在[-1,1]上是減函數(shù),[f(x)]max=f(-1)=(a+1)2;
當(dāng)-1≤-a≤1,即-1≤a≤1時(shí),f(x)在[-1,-a]上是增函數(shù),在[-a,1]上是減函數(shù),則[f(x)]max=f(-a)=2a2+2;
當(dāng)-a>1,即a<-1時(shí),f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),[f(x)]max=f(1)=(a-1)2
所以,d(a)=
1-a,當(dāng)a<-1時(shí)
2a2+2
,當(dāng)-1≤a≤1時(shí)
1+a,當(dāng)a>1時(shí)

(Ⅲ)當(dāng)0<a<1時(shí),P(a,±
2-2a2
)
,于是S1=
1
2
a
2(1-a2)
,S2=2a2+2
若正數(shù)m滿足條件,則
1
2
2(1-a2)
1
4
m(2a2+2)
,即m≥
a
2(1-a2)
a2+1

m2
2a2(1-a2)
(a2+1)2

f(a)=
2a2(1-a2)
(a2+1)2
,設(shè)t=a2+1,則t∈(1,2).a(chǎn)2=t-1.
于是f(a)=
2(t-1)(2-t)
t2
=2(-
2
t2
+
3
t
-1)
=-4(
1
t
-
3
4
)2+
1
4
,
∴當(dāng)
1
t
=
3
4
時(shí),即t=
4
3
∈(1,2)
時(shí),[f(a)]max=
1
4
,
m2
1
4
,m≥
1
2

所以,m存在最小值
1
2
點(diǎn)評(píng):熟練掌握“代點(diǎn)法”、兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、換元法、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

有一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋼板,將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形,然后焊接成一個(gè)無(wú)蓋的蓄水池,截去的小正方形的邊長(zhǎng)x為
 
m時(shí),蓄水池的容積最大.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,是圓O的切線,切點(diǎn)為A,D點(diǎn)在圓內(nèi),DB與圓相交于C,若BC=DC=3,OD=2,AB=6,則圓O的半徑為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口,假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的,遇到紅燈的概率都是
1
3
,遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2 分鐘.設(shè)這名學(xué)生在路上遇到紅燈的個(gè)數(shù)為變量ξ、停留的總時(shí)間為變量X,
(1)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率;
(2)這名學(xué)生在上學(xué)路上遇到紅燈的個(gè)數(shù)至多是2個(gè)的概率.
(3)求X的標(biāo)準(zhǔn)差
D(X)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)隨機(jī)變量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=
5
9
,則P(η≥2)=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義:min{a,b}=
a,a≤b
b,a>b
,在區(qū)域
0≤x≤2
0≤y≤6
內(nèi)任取一點(diǎn)P(x,y),則x、y滿足min{x2+x+2y,x+y+4}=x2+x+2y的概率為(  )
A、
5
9
B、
2
9
C、
1
3
D、
4
9

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù),f(x)=cosx,g(x)=-x2+4x-3,若存在實(shí)數(shù)a,b∈R,滿足g(a)=f(b),則a的取值范圍是(  )
A、[1,3]
B、(1,3)
C、[2-
2
,2+
2
]
D、(2-
2
,2+
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若實(shí)數(shù)x,y能使式子
x-y+1
-
x+y
+lg(1+
-x
)
有意義,則z=2x-y的最小值是(  )
A、1
B、0
C、-1
D、-
3
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
x2-2,x≤0
3x-2,x>0
,若|f(x)|≥ax在x∈[-1,1]上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案