Question

已知實(shí)數(shù)a∈[1，2]，b∈[1，3]，若存在a、b使得不等式|a-b|-|5a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：求實(shí)數(shù)x的取值范圍，實(shí)際上就是解關(guān)于x的不等式，化簡(jiǎn)一下原不等式，不等式左邊提取|a|，并兩邊同除以|a|，得到|

b

a

-1|-|2•

b

a

-5|≥|x-1|+|x-2|，根據(jù)題意，只要|x-1|+|x-2|小于等于它左邊式子的最大值即可，所以根據(jù)條件求左邊式子的最大值即可．

解答： 解：a∈[1，2]，b∈[1，3]可得

1

2

≤

b

a

≤3；
由|a-b|-|5a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）可得|a|(|

b

a

-1|-|2•

b

a

-5|)≥|a|（|x-1|+|x-2|）；
∴|

b

a

-1|-|2•

b

a

-5|≥|x-1|+|x-2|；
存在a、b使得不等式成立，只需|x-1|+|x-2|小于或等于|

b

a

-1|-|2

b

a

-5|的最大值，設(shè)

b

a

=t，

1

2

≤t≤3，
則：|

b

a

-1|-|2•

b

a

-5|=|t-1|-|2t-5|=

-t+4 5 2 ≤t≤3 3t-6 1＜t＜ 5 2 t-4 1 2 ≤t≤1

，可得其最大值為

3

2

；
解不等式|x-1|+|x-2|≤

3

2

，當(dāng)x≥2可得2≤x≤

9

4

；當(dāng)1＜x＜2可得恒成立；當(dāng)x＜1可得

3

4

≤x＜1，綜上可得解集為[

3

4

，

9

4

]

點(diǎn)評(píng)：考查含絕對(duì)值不等式的解法，求含絕對(duì)值函數(shù)的最值求法，正確理解存在a，b的含義．