Question

如圖所示，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米．（注：制箱材料必須用完）
（1）求出a，b滿足的關(guān)系式；
（2）問當(dāng)a，b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，求出a，b滿足的關(guān)系式；
（2）先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)中的函數(shù)的最值問題，再利用基本不等式求．

解答： 解：（1）由題意可得

2a+4b+2ab=60 a＞0，b＞0

，即

a+2b+ab=30 a＞0，b＞0

------------------------（6分）
（2）因?yàn)樵撾s質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比，所以當(dāng)ab最大時(shí)，該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小
由均值不等式得a+2b≥2

a•2b

（當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等號(hào)）
所以a+2b+ab≥ab+2

2ab

，
即ab+2

2ab

≤30（當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等號(hào)）---------（8分）
即(

ab

+5

2

)(

ab

-3

2

)≤0，
因?yàn)?span id="9oifqc4" class="MathJye">

ab

＞0，所以

ab

≤3

2

，所以ab≤18-------------（10分）
所以當(dāng)且僅當(dāng)

a=2b ab=18

即

a=6(m) b=3(m)

時(shí)，ab取得最大值18，此時(shí)該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小---------（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了利用函數(shù)知識(shí)求解實(shí)際問題的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式的知識(shí)求最值．