Question

2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A；
（2）求sinB+sinC的最大值；
（3）若sinB+sinC=1，判斷△ABC的性狀．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角形的形狀判斷,三角函數(shù)的最值

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)正弦定理，設(shè)

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a²=b²+c²+bc再與余弦定理聯(lián)立方程，可求出cosA的值，進(jìn)而求出A的值．
（2）根據(jù)（1）中A的值，可知c=60°-B，化簡(jiǎn)得sin（60°+B）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，得出最大值．
（3）把（1）中a，b和c關(guān)系式利用正弦定理轉(zhuǎn)化成角的正弦，與sinB+sinC=1聯(lián)立求得sinB和sinC的值，進(jìn)而根據(jù)C，B的范圍推斷出B=C，可知△ABC是等腰的鈍角三角形．

解答： 解：由正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
則a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∵2asinA=（2a+c）sinB+（2C+b）sinC，
方程兩邊同乘以2R，
∴2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
整理得a²=b²+c²+bc，
∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
故cosA=-

1

2

，A=120°．
（2）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC
=sinB+sin（60°-B）
=

3

2

cosB+

1

2

sinB
=sin（60°+B），
故當(dāng)B=30°時(shí)，sinB+sinC取得最大值1．
（3）（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC．
變形得

3

4

=（sinB+sinC）²-sinBsinC
又sinB+sinC=1，得sinBsinC=

1

4

，
上述兩式聯(lián)立得sinB=sinC=

1

2

，
因?yàn)?°＜B＜90°，0°＜C＜90°，
故B=C=30°，
所以△ABC是等腰的鈍角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理與余弦函數(shù)的應(yīng)用．主要用于解決三角形中邊、角問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握，在解三角形問(wèn)題中一般借助正弦定理和余弦定理邊化角，角化邊達(dá)到解題的目的．考查計(jì)算能力，屬于中檔題．