Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，且a₂-$\frac{1}{2}$，a₃，a₆-$\frac{1}{2}$成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）通過首項(xiàng)和公差表示出通項(xiàng)公式a_n=1+（n-1）d（d＞0），利用a₂-$\frac{1}{2}$，a₃，a₆-$\frac{1}{2}$成等比數(shù)列得到關(guān)于d的方程，解方程可得公差d，進(jìn)而可得結(jié)論；
（II）通過（I）裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（I）由題意設(shè)a_n=1+（n-1）d（d＞0），
∵a₂-$\frac{1}{2}$，a₃，a₆-$\frac{1}{2}$成等比數(shù)列，
∴${（1+2d）^2}=（1+d-\frac{1}{2}）（1+5d-\frac{1}{2}）$，
解得：$d=\frac{3}{2}，{a_n}=\frac{3n-1}{2}$；
（II）由（I）可知b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{4}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
∴S_n=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）=$\frac{2n}{3n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．