Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，cosx），$\overrightarrow$=（sinx，-cosx），記函數(shù)f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1，其中x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心的坐標；
（Ⅱ）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{2}{3}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)平面向量的數(shù)量級定義得出f（x）解析式并利用二倍角公式化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)列出方程解出對稱中心；
（II）由f（$\frac{α}{2}$）可得cosα-sinα，兩邊平方得出2sinαcosα，從而得出cosα+sinα，代入二倍角公式即可求得cos2α．

解答 解：f（x）=2（sinxcosx-cos²x）+1=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，解得x=$\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心的坐標是（$\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}$，0）．
（Ⅱ）∵f（$\frac{α}{2}$）=sinα-cosα=$\frac{2}{3}$，∴1-2sinαcosα=$\frac{4}{9}$，
∴2sinαcosα=$\frac{5}{9}$．
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{14}{9}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinα+cosα=$\frac{\sqrt{14}}{3}$．
又cosα-sinα=-$\frac{2}{3}$，
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=-$\frac{2\sqrt{14}}{9}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．