(2011•安徽模擬)已知函數(shù)f(x)=2sin2(
π
4
-x)-2
3
cos2x+
3

(Ⅰ)求f(x)最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)<m+2在x∈[0,
π
6
]上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(I)由已知中函數(shù)f(x)的解析式,根據(jù)二倍角的余弦公式,誘導(dǎo)公式和和差角公式,可將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式,進而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì),得到f(x)最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)由(I)中函數(shù)的解析式及正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì),結(jié)合當(dāng)0≤x≤
π
6
,有
π
3
≤2x+
π
3
2
3
π
,我們可以求出函數(shù)f(x)的值域,進而根據(jù)f(x)<m+2在x∈[0,
π
6
]
上恒成立,構(gòu)造關(guān)于m的不等式,求出m的取值范圍.
解答:解:(I)∵函數(shù)f(x)=2sin2(
π
4
-x)-2
3
cos2x+
3

f(x)=1-cos(
π
2
-2x)-
3
cos2x=1-sin2x-
3
cos2x=-2sin(2x+
π
3
)+1

T=
2

-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
π
2
+2kπ
,
-
5
12
π+kπ≤x≤
π
12
+kπ
,
故f(x)的遞減區(qū)間:[-
5
12
π+kπ,
π
12
+kπ](k∈z)
…(6分)
(II)由f(x)<m+2在x∈[0,
π
6
]
上恒成立,
得f(x)max<m+2,x∈[0,
π
6
]

0≤x≤
π
6
,有
π
3
≤2x+
π
3
2
3
π

3
2
≤sin(2x+
π
3
)≤1

-1≤f(x)≤1-
3
,
m+2>1-
3
,
m>-1-
3
,
點評:本題考查的知識點是正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的化簡求值,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域和值域,其中根據(jù)已知求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,1)上是增函數(shù),函數(shù)f(x)在R上有三個零點,且1是其中一個零點.
(1)求b的值;
(2)求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
,x∈[0,π]

(Ⅰ)求f(x)的值域;
(Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=
3
,求a
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)已知f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=ex-1(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),則f(ln
1
2
)=( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)中,F(xiàn)為右焦點,A為左頂點,點B(0,b)且AB⊥BF,則此雙曲線的離心率為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)已知函數(shù)f(x)=sinx-
x2
的導(dǎo)數(shù)為f'(x),且f'(x)的最大值為b,若g(x)=2lnx-2bx2-kx在[1,+∞)上單調(diào)遞減,則實數(shù)k的取值范圍是
[0,+∞)
[0,+∞)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案