Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣m（lnx+ ）（m為實數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）． （Ⅰ）當m＞1時，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若g（x）=x2f′（x）﹣xex在（ ，3）內(nèi)有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）當m=1時，證明：xf（x）+xlnx+1＞x+ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞）， = ． ∵m＞1，令f′（x）=0，可得x=1，或x=lnm
①當m=e時，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，∴此時f（x）在（0，+∞）遞增；
②當m＞e時，x∈（0，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，lnm）時，f′（x）＜0，x∈（lnm，+∞）時，f′（x）＞0
此時f（x）在（lnm，+∞），（0，1）遞增，在（1，lnm）遞減．
③當1＜m＜e時，x∈（0，lnm）時，f′（x）＞0，x∈（lnm，1）時，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0
此時f（x）在（1，+∞），（0，lnm）遞增，在（lnm，1）遞減．
（Ⅱ）g（x）=x2f′（x）﹣xex=﹣ex﹣m（x﹣1）在（ ，3）內(nèi)有兩個零點，
方程﹣ex﹣m（x﹣1）=0在（ ，3）內(nèi)有兩個實根，
即m=﹣ 在（ ，3）內(nèi)有兩個實根，
令h（x）=﹣ ，h′（x）= =0，可得x=2，
x 時，h′（x）＞0，x∈（2，3）時，h′（x）＜0，
∴h（x）在（ ）遞增，在（2，3），遞減，
要使g（x）=x2f′（x）﹣xex在（ ，3）內(nèi)有兩個零點，則
可得﹣ ＜m＜﹣e2 ， ∴實數(shù)m的取值范圍為（﹣ ，﹣e2）．
（Ⅲ）證明：當m=1時，要證xf（x）+xlnx+1＞x+ ．
只證x（ ﹣lnx﹣ ）+xlnx+1＞x+ 在（0，+∞）恒成立．
只證 ，易得ex＞x+1在（0，+∞）恒成立，
故只需證1＞ ，即證x＞ln（x+1），
令F（x）=x﹣ln（x+1），F(xiàn)′（x）=1﹣ ＞0，故F（x）在（0，+∞）遞增，而F（0）=0
∵F（x）＞0在（0，+∞）恒成立．
∴xf（x）+xlnx+1＞x+ 成立．
【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞）， = ．令f′（x）=0，可得x=1，或x=lnm 分①m=e，②m＞e，③1＜m＜e分類討論其單調(diào)性；（Ⅱ）g（x）=x2f′（x）﹣xex=﹣ex﹣m（x﹣1）在（ ，3）內(nèi)有兩個零點，
方程﹣ex﹣m（x﹣1）=0在（ ，3）內(nèi)有兩個實根，
即m=﹣ 在（ ，3）內(nèi)有兩個實根，
令h（x）=﹣ ，可得h（x）在（ ）遞增，在（2，3），遞減，
要使g（x）=x2f′（x）﹣xex在（ ，3）內(nèi)有兩個零點，則
可得實數(shù)m的取值范圍為（﹣ ，﹣e2）．（Ⅲ）當m=1時，要證xf（x）+xlnx+1＞x+ ．只證x（ ﹣lnx﹣ ）+xlnx+1＞x+ 在（0，+∞）恒成立．
只證 ，易得ex＞x+1在（0，+∞）恒成立，
故只需證1＞ ，即證x＞ln（x+1）即可，
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．